矩陣不可逆行列式一定為0，矩陣不可逆，一定有一個特征值是0。因為若矩陣不可逆，可矩陣的行列式為為0，又因為矩陣的行列式等于所有特征值的乘積，故必有一個特征值為0。

設A為n階矩陣，若存在常數(shù)λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特征值，x是A屬于特征值λ的特征向量。

設A為n階矩陣，根據(jù)關系式Ax=λx，可寫出(λE-A)x=0，繼而寫出特征多項式|λE-A|=0，可求出矩陣A有n個特征值（包括重特征值）。將求出的特征值λi代入原特征多項式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是對應的特征值λi的特征向量。

1.|A| = 0

2.A的列(行)向量組線性相關

3.R(A)<n

4.AX=0 有非零解

5.A有特征值0

6.A不能表示成初等矩陣的乘積

7.A的等價標準形不是單位矩陣

來源：高三網(wǎng)