函數(shù)收斂是由對(duì)函數(shù)在某點(diǎn)收斂定義引申出來的函數(shù)在某點(diǎn)收斂，是指當(dāng)自變量趨向這一點(diǎn)時(shí)，其函數(shù)值的極限就等于函數(shù)在該點(diǎn)的值若函數(shù)在定義域的每一點(diǎn)都收斂，則通常稱函數(shù)是收斂的有界和收斂不一樣。

有界不一定收斂。

函數(shù)收斂則：

1、在x0處收斂，則必存在x0的一個(gè)去心領(lǐng)域，函數(shù)在這個(gè)去心領(lǐng)域內(nèi)有界。

2、當(dāng)x趨于無窮時(shí)收斂，以正無窮為例，則必存在M，使函數(shù)在[M,+∞)上有界。

一般來說，延續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以說它的函數(shù)值在7和8之間變化，是有界的，所以具有有界性。但正切函數(shù)在故意義區(qū)間，比如(-π/2，π/2)內(nèi)則無界。

性質(zhì)：

無窮小與有界函數(shù)的乘積仍為無窮小。

收斂和收斂性這兩個(gè)詞(在外語中通常是同一個(gè)詞)有時(shí)泛指函數(shù)或數(shù)列是否有極限的性質(zhì)，或者按哪一種意義(什么極限過程)有極限。

在這個(gè)意義下，數(shù)學(xué)分析中所討論的收斂性的不同意義(不同類型的極限過程)大致有：對(duì)數(shù)列(點(diǎn)列)只討論當(dāng)其項(xiàng)序號(hào)趨于無窮的收斂性。

對(duì)一元和多元函數(shù)最基本的有自變量趨于定值(定點(diǎn))的和自變量趨于無窮的這兩類收斂性；對(duì)多元函數(shù)還有沿特別路徑的和累次極限意義下的收斂性；對(duì)函數(shù)列(級(jí)數(shù))有逐點(diǎn)收斂和一致收斂。

來源：高三網(wǎng)